4. Найдите целые решения системы неравенств: \(\begin{cases} 1 - 5x < 4(1 - x), \\ 3,5 + \frac{x}{4} \geq 2x. \end{cases}\)

Решение:

Сначала решим каждое неравенство системы по отдельности.

1. Решаем первое неравенство:

• \[ 1 - 5x < 4(1 - x) \]
• \[ 1 - 5x < 4 - 4x \]
• Переносим члены с x влево, а числа вправо:
• \[ -5x + 4x < 4 - 1 \]
• \[ -x < 3 \]
• Умножаем на -1 и меняем знак неравенства:
• \[ x > -3 \]

2. Решаем второе неравенство:

• \[ 3,5 + \frac{x}{4} \geq 2x \]
• Умножаем всё на 4, чтобы избавиться от дроби:
• \[ 4 \times 3,5 + 4 \times \frac{x}{4} \geq 4 \times 2x \]
• \[ 14 + x \geq 8x \]
• Переносим члены с x вправо, а числа влево:
• \[ 14 \geq 8x - x \]
• \[ 14 \geq 7x \]
• Делим на 7:
• \[ 2 \geq x \]
• Или, что то же самое:
• \[ x \leq 2 \]

3. Объединяем решения:

Нам нужно найти такие x, чтобы одновременно выполнялись условия:

• \[ x > -3 \]
• \[ x \leq 2 \]

Это означает, что x находится в промежутке от -3 (не включая) до 2 (включая):

• ( -3 ; 2 ]

4. Находим целые решения:

Целые числа, которые попадают в промежуток ( -3 ; 2 ] — это:

• -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ:

• Целые решения системы: -2, -1, 0, 1, 2.