4. Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если ∠ADB = 67°, ∠ACD = 49°, ∠CBD = 28°.

Задание 4. Углы вписанного четырёхугольника

Свойства углов, опирающихся на одну дугу:

• Углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности, равны.

Данные углы:

• \( \angle ADB = 67^{\circ} \) — опирается на дугу AB.
• \( \angle ACB \) также опирается на дугу AB, следовательно, \( \angle ACB = \angle ADB = 67^{\circ} \).
• \( \angle ACD = 49^{\circ} \) — опирается на дугу AD.
• \( \angle ABD \) также опирается на дугу AD, следовательно, \( \angle ABD = \angle ACD = 49^{\circ} \).
• \( \angle CBD = 28^{\circ} \) — опирается на дугу CD.
• \( \angle CAD \) также опирается на дугу CD, следовательно, \( \angle CAD = \angle CBD = 28^{\circ} \).

Находим углы четырёхугольника ABCD:

Угол A:

• \( \angle A = \angle CAD + \angle BAC \)
• Нам нужно найти \( \angle BAC \). \( \angle BAC \) опирается на дугу BC.
• \( \angle BOC \) (центральный) или \( \angle BDC \) (вписанный) также опирается на дугу BC.
• Найдем \( \angle BAC \) из \( \angle ABC \) или \( \angle ADC \).
• \( \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 49^{\circ} + 28^{\circ} = 77^{\circ} \).
• \( \angle ACB = 67^{\circ} \).
• В треугольнике ABC: \( \angle BAC = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle ACB = 180^{\circ} - 77^{\circ} - 67^{\circ} = 180^{\circ} - 144^{\circ} = 36^{\circ} \).
• \( \angle A = \angle CAD + \angle BAC = 28^{\circ} + 36^{\circ} = 64^{\circ} \).

Угол B:

• \( \angle B = \angle ABD + \angle CBD = 49^{\circ} + 28^{\circ} = 77^{\circ} \).

Угол C:

• \( \angle C = \angle ACB + \angle ACD = 67^{\circ} + 49^{\circ} = 116^{\circ} \).

Угол D:

• \( \angle D = \angle ADB + \angle CDB \)
• \( \angle CDB \) опирается на дугу CB.
• \( \angle CDB \) = \( \angle CAB \) = \( \angle BAC = 36^{\circ} \).
• \( \angle D = \angle ADB + \angle CDB = 67^{\circ} + 36^{\circ} = 103^{\circ} \).

Проверка: Сумма углов четырёхугольника должна быть 360°. \( 64^{\circ} + 77^{\circ} + 116^{\circ} + 103^{\circ} = 360^{\circ} \).

Ответ: ∠A = 64°, ∠B = 77°, ∠C = 116°, ∠D = 103°.