4. Найдите угол ACO, если его сторона CD касается окружности, O — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 140°.

Решение:

Угол ACO является углом между касательной CD и хордой AC. По теореме о угле между касательной и хордой, величина этого угла равна половине величины дуги AC, опирающейся на него.

Дуга AC состоит из дуги AD и дуги DC. Дуга AD = 140°.

Так как CD — касательная, то радиус OD перпендикулярен касательной CD. Следовательно, \( \angle ODC = 90° \).

Дуга DC равна 90° (так как она соответствует центральному углу DOC, равному 90°).

Следовательно, величина дуги AC равна сумме дуг AD и DC:

\[ \text{Дуга } AC = \text{Дуга } AD + \text{Дуга } DC = 140° + 90° = 230° \]

Но угол ACO — это угол между касательной и хордой, поэтому он опирается на дугу AC, которая находится внутри этого угла. В данном случае, это означает, что имеется в виду меньшая дуга AC. Однако, условие задачи, вероятно, имеет в виду, что дуга AD, равная 140°, является той дугой, которая используется для нахождения угла ACO.

Рассмотрим другой подход. Угол ACO — это часть угла OCD. Так как OD — радиус, а CD — касательная, то \( \angle ODC = 90° \). Дуга AD = 140°.

Вместо этого, давайте используем тот факт, что угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую эта хорда отсекает. Если AC — хорда, то угол ACO опирается на дугу AC. Нам дана дуга AD = 140°.

Переосмыслим условие: «сторона CD касается окружности, O — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 140°». Угол ACO — это угол между касательной CD и хордой AC.

Нам нужно найти угол ACO. Этот угол опирается на дугу AC. Дуга AD = 140°. OD = OC (радиусы).

Из рисунка видно, что угол ACO является частью угла OCD. Поскольку OD — радиус, а CD — касательная, то \( \angle ODC = 90° \).

Дуга AD = 140°. Центральный угол, соответствующий дуге AD, равен \( \angle AOD = 140° \).

В треугольнике AOD, OA = OD (радиусы), поэтому он равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle OAD = \angle ODA = \frac{180° - 140°}{2} = \frac{40°}{2} = 20° \).

Теперь рассмотрим угол ACO. Это угол между касательной CD и хордой AC. Он равен половине дуги AC.

Нам нужно найти величину дуги AC. Дуга AC = Дуга AD + Дуга DC. Мы знаем Дугу AD = 140°.

Рассмотрим треугольник ODC. OC = OD (радиусы). \( \angle ODC = 90° \). Треугольник ODC — прямоугольный равнобедренный треугольник. Это означает, что \( \angle DOC = 90° \).

Теперь мы можем найти дугу AC:

\[ \text{Дуга } AC = \text{Дуга } AD + \text{Дуга } DC \]

Дуга DC соответствует центральному углу DOC. В прямоугольном треугольнике ODC, \( \angle DOC = 90° \).

\[ \text{Дуга } DC = 90° \]

\[ \text{Дуга } AC = 140° + 90° = 230° \]

Это большая дуга AC. Нам нужна меньшая дуга AC, которая отсекается хордой AC. Если дуга AD = 140°, и OD перпендикулярно CD, то угол DOC = 90°.

Если мы смотрим на угол ACO, он опирается на дугу AC. Нам нужно найти величину этой дуги. Дуга AD = 140°.

Давайте рассмотрим угол OCA. Угол OCA — это угол между хордой AC и радиусом OC. Треугольник AOC — равнобедренный (OA = OC). Угол ACO — это угол между касательной CD и хордой AC.

По теореме об угле между касательной и хордой, \( \angle ACO = \frac{1}{2} \text{Дуга } AC \).

Нам дана дуга AD = 140°.

Рассмотрим центральный угол \( \angle AOD = 140° \). Угол \( \angle ODA = \angle OAD = (180° - 140°)/2 = 20° \).

Так как CD — касательная, \( \angle ODC = 90° \).

Угол \( \angle ADC = \angle ODC - \angle ODA = 90° - 20° = 70° \).

Угол ADC — вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Следовательно, величина дуги AC равна \( 2 \times \angle ADC = 2 \times 70° = 140° \).

Теперь, угол ACO — это угол между касательной CD и хордой AC. Этот угол равен половине дуги AC, которую он отсекает (меньшую дугу).

\[ \angle ACO = \frac{1}{2} \text{Дуга } AC = \frac{1}{2} \times 140° = 70° \]

Ответ: 70