4. Найдите x. Треугольник REF вписан в окружность с центром O; RE = 10, EF = 5, RF = 7, RO = x.

Найдём площадь треугольника REF по формуле Герона. Полупериметр \(p=\frac{10+5+7}{2}=11\), поэтому \(S=\sqrt{11\cdot1\cdot6\cdot4}=2\sqrt{66}\).

Радиус описанной окружности равен \(R=\frac{abc}{4S}\). Следовательно, \(x=RO=\frac{10\cdot5\cdot7}{4\cdot2\sqrt{66}}=\frac{175}{4\sqrt{66}}=\frac{175\sqrt{66}}{264}\).

Ответ: \(x=\frac{175\sqrt{66}}{264}\).