4. Найдите значение выражения \((a^{3/4}-a^{1/2})(a^{-1/4}+a^{1/2})(a^{1/2}+1)\), если \(a=41\).

Положим \(x=a^{1/4}\). Тогда выражение принимает вид \((x^3-x^2)(x^{-1}+x^2)(x^2+1)\).

Разложим и упростим множители: \(x^3-x^2=x^2(x-1)\), а \(x^{-1}+x^2=(1+x^3)/x\). Поэтому выражение равно \(x(x-1)(x^3+1)(x^2+1)\).

При \(a=41\) имеем \(x=\sqrt[4]{41}\), следовательно, значение выражения равно \(\sqrt[4]{41}(\sqrt[4]{41}-1)(\sqrt[4]{41}^{\,3}+1)(\sqrt{41}+1)\).

Ответ: \(\sqrt[4]{41}(\sqrt[4]{41}-1)(\sqrt[4]{41}^{\,3}+1)(\sqrt{41}+1)\).