№ 4. Найдите значение выражения: a) log₉ 81/101 - log₉ 101/9; б) log₅49 + 2log₅5/7

Решение:

а) \( \log_9 \frac{81}{101} - \log_9 \frac{101}{9} \)

1. Используем свойство логарифма: \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \).
2. \( \log_9 \frac{81}{101} - \log_9 \frac{101}{9} = \log_9 \left( \frac{\frac{81}{101}}{\frac{101}{9}} \right) \)
3. \( \frac{\frac{81}{101}}{\frac{101}{9}} = \frac{81}{101} \cdot \frac{9}{101} = \frac{81 \cdot 9}{101^2} \)
4. \( \log_9 \frac{729}{10201} \)
5. Так как \( 729 = 9^3 \), то \( \log_9 729 = 3 \).
6. \( \log_9 \frac{729}{10201} = \log_9 729 - \log_9 10201 = 3 - \log_9 10201 \).

Примечание: Вероятно, в условии задания есть опечатка, так как \( 101 \) не является степенью \( 9 \) или \( 3 \). Если бы было \( \log_9 \frac{81}{101} - \log_9 \frac{1}{101} \), то результат был бы \( \log_9 \frac{81}{101} \cdot 101 = \log_9 81 = 2 \). Или \( \log_9 81 - \log_9 101 - (\log_9 101 - \log_9 9) = 2 - \log_9 101 - \log_9 101 + 1 = 3 - 2\log_9 101 \).

Исходя из представленного вида, без дальнейших уточнений, полный числовой ответ не получается.

б) \( \log_5 49 + 2\log_5 \frac{5}{7} \)

1. Используем свойство логарифма: \( n \log_a b = \log_a b^n \).
2. \( 2\log_5 \frac{5}{7} = \log_5 \left( \frac{5}{7} \right)^2 = \log_5 \frac{25}{49} \).
3. Теперь выражение имеет вид: \( \log_5 49 + \log_5 \frac{25}{49} \).
4. Используем свойство логарифма: \( \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) \).
5. \( \log_5 49 + \log_5 \frac{25}{49} = \log_5 \left( 49 \cdot \frac{25}{49} \right) = \log_5 25 \).
6. Так как \( 25 = 5^2 \), то \( \log_5 25 = 2 \).

Ответ: а) \( 3 - 2\log_9 101 \) (предполагается опечатка); б) 2