4. Найти диагонали прямоугольника ABCD, если ∠ABD = 30°, AD = 5 см.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Угол ∠BAD равен 90°. Угол ∠ABD равен 30°. Тогда угол ∠ADB равен 180° - 90° - 30° = 60°. Нам известна длина стороны AD = 5 см. Диагональ BD является гипотенузой треугольника ABD. Используем тригонометрическую функцию синус: sin(∠ABD) = AD / BD. sin(30°) = 5 / BD, sin(30°) = 0.5, отсюда 0.5 = 5 / BD, BD = 5 / 0.5 = 10 см. Так как диагонали прямоугольника равны, то диагональ AC = BD = 10 см.
Ответ: AC = 10 см, BD = 10 см.