4. Найти область допустимых значений выражения: (4 + 2x)/(3 : x + 5 : (x + 1)).

Знаменатель записан как \(3:x+5:(x+1)\). Для существования выражения необходимо, чтобы делители \(x\) и \(x+1\) были ненулевыми; кроме того, весь знаменатель не должен равняться нулю.

\(x\ne0\), \(x\ne-1\). Преобразуем знаменатель:

\[ \frac3x+\frac5{x+1}=\frac{3(x+1)+5x}{x(x+1)}=\frac{8x+3}{x(x+1)}. \]

Он равен нулю при \(8x+3=0\), то есть при \(x=-\frac38\); это значение также исключаем.

Ответ: \(x\in\mathbb R\setminus\{-1,-\frac38,0\}\).