4. Найти производную функции y = (x² - 5x² + x)⁷

Решение:

Для нахождения производной функции \( y = (x^2 - 5x^2 + x)^7 \) используем правило дифференцирования сложной функции. Сначала упростим выражение внутри скобок: \( x^2 - 5x^2 + x = -4x^2 + x \). Итак, функция имеет вид \( y = (-4x^2 + x)^7 \).

1. Производная сложной функции \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).
2. Внешняя функция \( f(u) = u^7 \), её производная \( f'(u) = 7u^6 \).
3. Внутренняя функция \( g(x) = -4x^2 + x \), её производная \( g'(x) = \frac{d}{dx}(-4x^2 + x) = -8x + 1 \).
4. Применяем правило: \( y' = 7(-4x^2 + x)^6 \cdot (-8x + 1) \)

Ответ: \( y' = 7(-4x^2 + x)^6 (-8x + 1) \)