4. Найти сумму первых десяти членов геометрической прогрессии: а) \(b_1=30,\ b_6=15\); б) \(b_5=9,\ b_{10}=-\frac1{27}\).

а) Так как \(b_6=b_1q^5\), имеем \(q^5=\frac{15}{30}=\frac12\), следовательно, \(q=\sqrt[5]{\frac12}\). Тогда \(S_{10}=30\cdot\dfrac{1-q^{10}}{1-q}=\dfrac{45}{1-\sqrt[5]{1/2}}\).

б) Из \(b_{10}=b_5q^5\) находим \(q^5=\frac{-1/27}{9}=-\frac1{243}=-(1/3)^5\), значит, \(q=-\frac13\). Тогда \(S_{10}=b_5\dfrac{1-q^{10}}{1-q}=9\cdot\dfrac{1-(1/3)^{10}}{1+1/3}=\frac{22184}{2187}\).

Ответ: а) \(\frac{45}{1-\sqrt[5]{1/2}}\); б) \(\frac{22184}{2187}\).