4. Один из углов параллелограмма равен 120°. Биссектриса этого угла делит противоположную сторону на отрезки длиной 12 см и 8 см, считая от вершины острого угла параллелограмма. Найдите длины отрезков, на которые биссектриса данного угла делит большую диагональ параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма, выходящие из вершины угла 120°, имеют длины \(a\) и \(b\). Биссектриса делит противоположную сторону на части, равные одной из этих сторон и разности сторон. Поэтому стороны параллелограмма равны 20 см и 12 см либо 20 см и 8 см: порядок частей 12 см и 8 см относительно острых вершин не уточняет, какой из этих двух случаев имеется в виду.

Биссектриса угла делит большую диагональ в отношении прилежащих сторон. Действительно, если длины сторон из вершины угла равны \(a\) и \(b\), точка пересечения биссектрисы с диагональю делит её на части в отношении \(a:b\).

Если стороны равны 20 см и 12 см, большая диагональ равна \(\sqrt{20^2+12^2+20\cdot12}=28\) см. Она делится в отношении 20:12, то есть на отрезки 17,5 см и 10,5 см.

Если стороны равны 20 см и 8 см, большая диагональ равна \(\sqrt{20^2+8^2+20\cdot8}=4\sqrt{39}\) см. Она делится в отношении 20:8, то есть на отрезки \(\frac{10\sqrt{39}}{7}\) см и \(\frac{4\sqrt{39}}{7}\) см.

Чтобы выбрать единственный результат, нужно уточнить, какой именно из отрезков 12 см и 8 см прилегает к какой острой вершине: при разных расположениях получаются разные пары длин.