4. Одна сторона треугольника на 8 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите радиус описанной окружности треугольника, если его периметр равен 28 см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, в котором угол C равен 60°, BC = 12 см, AB = 20 см.

Первая часть. Обозначим меньшую из двух сторон через \(x\), тогда другая равна \(x+8\). Третья сторона по условию периметра равна \(28-x-(x+8)=20-2x\).

По теореме косинусов для стороны, лежащей напротив угла 120°: \((20-2x)^2=x^2+(x+8)^2-2x(x+8)\cos120^\circ\). Так как \(\cos120^\circ=-\frac12\), получаем \(x^2-104x+336=0\). Корни: \(52\pm8\sqrt{37}\). Условие \(20-2x>0\) оставляет \(x=52-8\sqrt{37}\).

Третья сторона равна \(20-2x=16\sqrt{37}-84\). Радиус описанной окружности: \(R=\frac{a}{2\sin120^\circ}=\frac{16\sqrt{37}-84}{\sqrt{3}}\) см.

Ответ к первой части: \(R=\frac{16\sqrt{37}-84}{\sqrt{3}}\) см.

Вторая часть. Сторона \(AB=20\) см лежит напротив угла \(C=60^\circ\). По теореме синусов \(2R=\frac{AB}{\sin C}\), поэтому \(R=\frac{20}{2\sin60^\circ}=\frac{20\sqrt{3}}{3}\) см.

Ответ ко второй части: \(\frac{20\sqrt{3}}{3}\) см.