4. Одна сторона треугольника на 8 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 28 см.

Пусть меньшая из двух сторон равна \(x\) см, тогда другая равна \(x+8\) см. По теореме косинусов квадрат третьей стороны равен \(x^2+(x+8)^2-2x(x+8)\cos120^\circ=3x^2+24x+64\).

Из периметра третья сторона равна \(28-x-(x+8)=20-2x\). Приравняем квадраты выражений для третьей стороны:

\((20-2x)^2=3x^2+24x+64\).

После раскрытия скобок получаем \(x^2-104x+336=0\), откуда \(x=52\pm8\sqrt{37}\). Поскольку \(20-2x\) — длина стороны, должно быть \(x<10\). Значит, подходит только \(x=52-8\sqrt{37}\).

Три стороны равны \(52-8\sqrt{37}\) см, \(60-8\sqrt{37}\) см и \(16\sqrt{37}-84\) см (примерно 3,36 см, 11,36 см и 13,28 см).

Ответ: \(52-8\sqrt{37}\) см, \(60-8\sqrt{37}\) см и \(16\sqrt{37}-84\) см.