4. Одно полотно разрезали на 5 равных частей, а другое, длина которого на 10 м больше, на 7 таких же частей. Какова длина каждого полотна?

Решение:

Давай обозначим длину первого полотна как $$x$$ метров. Тогда длина второго полотна будет $$x + 10$$ метров.

Когда первое полотно разрезали на 5 равных частей, длина каждой части составила $$\frac{x}{5}$$ метров.

Когда второе полотно разрезали на 7 таких же частей, длина каждой части составила $$\frac{x + 10}{7}$$ метров.

По условию задачи, эти части равны. Значит, мы можем составить уравнение:

\[ \frac{x}{5} = \frac{x + 10}{7} \]

Теперь решим это уравнение:

1. Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от знаменателя в левой части:

\[ x = \frac{5(x + 10)}{7} \]

2. Умножим обе части на 7, чтобы избавиться от знаменателя в правой части:

\[ 7x = 5(x + 10) \]

3. Раскроем скобки:

\[ 7x = 5x + 50 \]

4. Перенесем $$5x$$ в левую часть:

\[ 7x - 5x = 50 \]

\[ 2x = 50 \]

5. Найдем $$x$$:

\[ x = \frac{50}{2} \]

\[ x = 25 \]

Мы нашли длину первого полотна ($$x$$). Теперь найдем длину второго полотна:

$$x + 10 = 25 + 10 = 35$$ метров.

Проверим, равны ли части:

Для первого полотна: $$25$$ м / $$5$$ частей = $$5$$ м/часть.

Для второго полотна: $$35$$ м / $$7$$ частей = $$5$$ м/часть.

Части равны, значит, решение верное.

Ответ: Длина первого полотна 25 метров, длина второго полотна 35 метров.