4. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Из вершины С проведена высота CH к гипотенузе AB. Найдите ∠ACH, если ∠B = 68°.

Привет! Давай разберемся с этим прямоугольным треугольником и окружностью.

Что знаем:

• Треугольник ABC — прямоугольный (угол C = 90°).
• Около него описана окружность.
• CH — высота, проведенная к гипотенузе AB.
• Угол B = 68°.

Ключевые моменты:

1. В прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность, гипотенуза является диаметром окружности.
2. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.
3. Высота, проведенная к гипотенузе, образует два меньших прямоугольных треугольника (ACH и BCH), которые подобны исходному треугольнику ABC и друг другу.

Решение:

1. Найдем угол A в треугольнике ABC:
• Угол A = 180° - 90° (угол C) - 68° (угол B) = 22°.
2. Рассмотрим треугольник ACH:
• Он прямоугольный, так как CH — высота, значит, угол CHA = 90°.
• Мы знаем угол A = 22°.
• Сумма углов в треугольнике ACH: Угол ACH + Угол CAH + Угол CHA = 180°.
• Угол ACH + 22° + 90° = 180°.
• Угол ACH = 180° - 90° - 22° = 68°.
3. Альтернативный путь (через подобие):
• Треугольник BCH подобен треугольнику ABC.
• Значит, угол BCH = углу A = 22°.
• Угол ACB = 90°.
• Угол ACH = Угол ACB - Угол BCH = 90° - 22° = 68°.

Ответ: 68°