№4. Окружность вписана в треугольник WAC и точки E, B и L являются точками касания окружности со сторонами треугольника. а) Найдите угол АОС, если ∠WAC = 52° и ∠ACW = 36° б) Найдите периметр AWAC, если WF = 7 см, AB = 2 см и CL = 3 см. (чертеж, дано, решение с объяснениями).

Это задача на свойства вписанной окружности.

а) Нахождение угла АОС:

1. Сначала найдем угол ∠WAC в треугольнике WAC. Сумма углов треугольника равна 180°.
2. \[ \angle W = 180^{\circ} - \angle WAC - \angle ACW = 180^{\circ} - 52^{\circ} - 36^{\circ} = 92^{\circ} \]
3. Центр вписанной окружности (O) лежит на пересечении биссектрис.
4. Биссектриса угла W делит ∠W пополам.
5. Биссектриса угла C делит ∠ACW пополам.
6. В треугольнике, образованном вершиной C, центром окружности O и точкой касания L на стороне AC (или E), мы можем найти угол AOC. Однако, в условии указаны точки E, B, L касания. Точка O — центр вписанной окружности.
7. Если O — центр вписанной окружности, то AO, WO, CO — биссектрисы углов WAC, ∠W, ∠ACW соответственно.
8. В треугольнике AOC: ∠OAC = ∠WAC / 2 = 52° / 2 = 26°, ∠OCA = ∠ACW / 2 = 36° / 2 = 18°.
9. \[ \angle AOC = 180^{\circ} - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^{\circ} - (26^{\circ} + 18^{\circ}) = 180^{\circ} - 44^{\circ} = 136^{\circ} \]

б) Нахождение периметра AWAC:

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных равны:

• WA = WB
• AE = AL
• CE = CL

Из условия дано:

• WF = 7 см. Так как F — точка касания, то WF = WB = WE = 7 см (если F=B, что маловероятно, нужно уточнение по чертежу. Предполагаем, что W, A, C - вершины треугольника, а E, B, L - точки касания на сторонах AC, AW, CW соответственно).

Предположим, что точки касания:

• E на AC
• B на AW
• L на CW

Тогда:

• WB = WE (это неверно, точки касания должны быть на сторонах, а не на вершинах).

Корректное предположение:

Пусть точки касания:

• E лежит на стороне AC
• B лежит на стороне AW
• L лежит на стороне CW

Тогда:

• AB = AE (если B - точка касания на AW, а E - точка касания на AC)
• WB = WL (если B - точка касания на AW, а L - точка касания на CW)
• EB = EL (неверно, точки касания не образуют таких равенств)

Из условия имеем:

• WF = 7 см. Если F - точка касания на одной из сторон, но F не является B или L. Предположим, что W, A, C - вершины. E, B, L - точки касания.
• По условию, точки E, B, L являются точками касания.
• WF = 7 см. Предположим, что F - точка касания на стороне AC. Тогда AF = AE, CF = CL.
• AB = 2 см. Если B - точка касания на стороне AW, тогда AB = AE.
• CL = 3 см. Если L - точка касания на стороне CW, тогда CL = CE.

Исходя из стандартных обозначений:

Пусть точки касания:

• B на стороне AW
• E на стороне AC
• L на стороне CW

Тогда:

• AB = AE = 2 см.
• CE = CL = 3 см.
• WB = WL.

Мы знаем ∠W = 92°, ∠WAC = 52°, ∠ACW = 36°.

Нам нужно найти WB. Из условия WF = 7 см. Если F - это точка касания на стороне CW, тогда WL = WF = 7 см. Следовательно, WB = 7 см.

Периметр треугольника AWAC = AW + AC + CW.

AW = AB + WB = 2 см + 7 см = 9 см.

AC = AE + CE = 2 см + 3 см = 5 см.

CW = CL + WL = 3 см + 7 см = 10 см.

Периметр AWAC = 9 см + 5 см + 10 см = 24 см.

Проверка:

В условии указано WF=7, AB=2, CL=3. Точки касания E, B, L. Если B на AW, E на AC, L на CW:

AB = AE = 2

CL = CE = 3

WB = WL

WF = 7. Если F совпадает с L, то WL = 7, значит WB = 7.

AW = AB + WB = 2 + 7 = 9

AC = AE + CE = 2 + 3 = 5

CW = CL + WL = 3 + 7 = 10

Периметр = 9 + 5 + 10 = 24.

Ответ: а) ∠AOC = 136°. б) Периметр AWAC = 24 см.