4. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту призмы.

Краткая запись:

• Основание: прямоугольный треугольник
• Катет 1 (a): 6
• Катет 2 (b): 8
• Площадь полной поверхности (S_{полн}): 288
• Найти: Высоту призмы (h) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим площадь основания (S_{осн}).
• \( S_{осн} = rac{1}{2} × a × b = rac{1}{2} × 6 × 8 = 24 \)
2. Шаг 2: Находим гипотенузу прямоугольного треугольника (c). По теореме Пифагора:
• \( c^2 = a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)
• \( c = √{100} = 10 \)
3. Шаг 3: Находим периметр основания (P).
• \( P = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24 \)
4. Шаг 4: Выражаем площадь боковой поверхности (S_{бок}) через высоту (h).
• \( S_{бок} = P × h = 24h \)
5. Шаг 5: Используем формулу полной поверхности призмы и решаем уравнение относительно h.
• \( S_{полн} = S_{бок} + 2 × S_{осн} \)
• \( 288 = 24h + 2 × 24 \)
• \( 288 = 24h + 48 \)
• \( 288 - 48 = 24h \)
• \( 240 = 24h \)
• \( h = rac{240}{24} = 10 \)

Ответ: Высота призмы равна 10.