№3 Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 10 м и 24 м, и боковым ребром, равным 18 м.

Решение:

1. Площадь основания призмы (площадь ромба):

Площадь ромба вычисляется по формуле \( S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали ромба.

\( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ м} \cdot 24 \text{ м} = \frac{1}{2} \cdot 240 \text{ м}^2 = 120 \text{ м}^2 \).

2. Периметр основания призмы (периметр ромба):

Сначала найдём сторону ромба. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Половины диагоналей равны \( \frac{10}{2} = 5 \) м и \( \frac{24}{2} = 12 \) м. Сторона ромба \( a \) является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 5 м и 12 м.

По теореме Пифагора: \( a^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \).

\( a = \sqrt{169} = 13 \) м.

Периметр ромба \( P = 4a = 4 \cdot 13 \text{ м} = 52 \) м.

3. Площадь боковой поверхности призмы:

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы (в данном случае — боковое ребро).

\( S_{бок} = P \cdot h \), где \( h = 18 \) м (боковое ребро).

\( S_{бок} = 52 \text{ м} \cdot 18 \text{ м} = 936 \text{ м}^2 \).

4. Площадь полной поверхности призмы:

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.

\( S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} = 936 \text{ м}^2 + 2 \cdot 120 \text{ м}^2 = 936 \text{ м}^2 + 240 \text{ м}^2 = 1176 \text{ м}^2 \).

Ответ: Площадь поверхности призмы равна 1176 м².