4. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 18 см, а диагональ является биссектрисой её острого угла. Найдите площадь трапеции.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Пусть основания трапеции равны $$a=18$$ см и $$b=12$$ см. Пусть $$AD$$ — диагональ, которая является биссектрисой острого угла $$A$$. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны.
2. Шаг 2: Так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$, то $$\angle DAB = \angle DAC$$.
3. Шаг 3: Поскольку основания $$AB$$ и $$CD$$ параллельны, то $$\angle DAC = \angle ACB$$ как накрест лежащие углы при секущей $$AC$$.
4. Шаг 4: Из равенства углов следует, что $$\angle DAB = \angle ACB$$. Это означает, что треугольник $$ABC$$ — равнобедренный, и $$AB = BC$$.
5. Шаг 5: В равнобокой трапеции боковые стороны равны ($$BC = AD$$). Значит, $$AB = BC = CD = 12$$ см.
6. Шаг 6: Чтобы найти высоту трапеции, проведем перпендикуляры из вершин $$B$$ и $$C$$ на большее основание $$AD$$. Обозначим их $$BE$$ и $$CF$$. Тогда $$EF = BC = 12$$ см. $$AE = FD = (AD - EF) / 2 = (18 - 12) / 2 = 3$$ см.
7. Шаг 7: В прямоугольном треугольнике $$ABE$$, по теореме Пифагора: $$BE^2 = AB^2 - AE^2 = 12^2 - 3^2 = 144 - 9 = 135$$.
   $$BE = \sqrt{135} = 3\sqrt{15}$$ см.
8. Шаг 8: Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = rac{a+b}{2} imes h$$.
   $$S = rac{18+12}{2} imes 3\sqrt{15} = rac{30}{2} imes 3\sqrt{15} = 15 imes 3\sqrt{15} = 45\sqrt{15}$$ см$$^2$$.

Ответ: $$45\sqrt{15}$$ см$$^2$$