4. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 18 см, а диагональ является биссектрисой её острого угла. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Обозначим равнобокую трапецию как ABCD, где AB || CD. Пусть AB = 18 см (большее основание), CD = 12 см (меньшее основание). Диагональ AC является биссектрисой острого угла A.

Поскольку трапеция равнобокая, то углы при основании равны, т.е. \( \angle DAB = \angle CBA \) и \( \angle ADC = \angle BCD \).

Так как AC — биссектриса \( \angle DAB \), то \( \angle DAC = \angle CAB \).

Рассмотрим параллельные прямые AB и CD и секущую AC. Тогда \( \angle BAC = \angle ACD \) как накрест лежащие.

Из равенства углов \( \angle CAB = \angle BAC \) и \( \angle BAC = \angle ACD \) следует, что \( \angle CAB = \angle ACD \).

Это означает, что треугольник ADC является равнобедренным, так как углы при основании AD равны. Значит, AD = CD = 12 см.

Поскольку трапеция равнобокая, то боковые стороны равны: AD = BC = 12 см.

Найдем высоту трапеции. Проведем высоту BH из вершины B на основание AD. В прямоугольном треугольнике ABH, где AH = \( (AB - CD) / 2 \) = \( (18 - 12) / 2 \) = \( 6 / 2 \) = 3 см, и AB = 12 см. Это неверно, так как AB - большее основание.

Правильно: проведем высоты из C и D на AB. Пусть CK и DL — высоты. Тогда KL = CD = 12 см. \( AK = LB = (AB - CD) / 2 = (18 - 12) / 2 = 3 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADL. AD = 12 см, AL = 3 см. Нет, это треугольник CKD, где CD - основание. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и отрезком основания.

Пусть проведем высоту из D на AB. Обозначим точку пересечения как E. Тогда AE = \( (18-12)/2 = 3 \) см.

В прямоугольном треугольнике ADE: AD = 12 см (боковая сторона), AE = 3 см. Нет, AD - это основание. Боковая сторона - 12 см. Пусть боковая сторона равна 12 см.

Переформулируем: Пусть основания трапеции равны \( a = 18 \) см и \( b = 12 \) см. Боковые стороны равны \( c \). Диагональ \( d \) — биссектриса. Острый угол при основании \( \alpha \).

Так как диагональ является биссектрисой острого угла, то, как было показано выше, боковая сторона равна меньшему основанию: \( c = b = 12 \) см.

Теперь найдем высоту трапеции \( h \). Проведем две высоты из концов меньшего основания к большему. Они отсекут от большего основания два равных отрезка. Длина каждого отрезка равна \( (a-b)/2 = (18-12)/2 = 3 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (12 см), высотой (h) и отрезком основания (3 см). По теореме Пифагора:

\( c^2 = h^2 + ((a-b)/2)^2 \)

\( 12^2 = h^2 + 3^2 \)

\( 144 = h^2 + 9 \)

\( h^2 = 144 - 9 = 135 \)

\( h = \sqrt{135} = \sqrt{9 \cdot 15} = 3\sqrt{15} \) см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \)

\( S = \frac{18+12}{2} \cdot 3\sqrt{15} = \frac{30}{2} \cdot 3\sqrt{15} = 15 \cdot 3\sqrt{15} = 45\sqrt{15} \) см².

Ответ: Площадь трапеции равна \( 45\sqrt{15} \) см².