5. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на её диаметр, делит его на два отрезка, разность которых равна 21 см. Найдите радиус окружности, если длина данного перпендикуляра равна 10 см.

Решение:

Пусть окружность с центром O и радиусом R. Диаметр AB. Из точки C на окружности опущен перпендикуляр CD на диаметр AB. CD = 10 см.

Перпендикуляр CD делит диаметр AB на два отрезка AD и DB. Пусть AD = x см. Тогда DB = AB - AD = 2R - x.

По условию, разность отрезков равна 21 см. Возможны два случая:

1. AD - DB = 21, то есть \( x - (2R - x) = 21 \)
2. DB - AD = 21, то есть \( (2R - x) - x = 21 \)

Рассмотрим случай 2: \( 2R - 2x = 21 \), откуда \( 2x = 2R - 21 \) и \( x = R - 10.5 \).

Тогда второй отрезок будет \( 2R - x = 2R - (R - 10.5) = R + 10.5 \).

Разность отрезков: \( (R + 10.5) - (R - 10.5) = 21 \), что соответствует условию.

По теореме о перпендикуляре, опущенном из точки на окружности на диаметр: квадрат перпендикуляра равен произведению отрезков, на которые он делит диаметр.

\( CD^2 = AD \cdot DB \)

\( 10^2 = (R - 10.5) \cdot (R + 10.5) \)

\( 100 = R^2 - (10.5)^2 \)

\( 100 = R^2 - 110.25 \)

\( R^2 = 100 + 110.25 = 210.25 \)

\( R = \sqrt{210.25} \)

Чтобы извлечь корень из 210.25, можно заметить, что \( 14^2 = 196 \) и \( 15^2 = 225 \). Число оканчивается на .25, значит, корень может оканчиваться на .5. Попробуем 14.5:

\( 14.5^2 = (14 + 0.5)^2 = 14^2 + 2 \cdot 14 \cdot 0.5 + 0.5^2 = 196 + 14 + 0.25 = 210.25 \).

Значит, \( R = 14.5 \) см.

Проверим случай 1: \( x - (2R - x) = 21 \), \( 2x - 2R = 21 \), \( 2x = 2R + 21 \), \( x = R + 10.5 \).

Тогда второй отрезок: \( 2R - x = 2R - (R + 10.5) = R - 10.5 \).

Произведение отрезков: \( (R + 10.5) \cdot (R - 10.5) = R^2 - 110.25 \).

\( 100 = R^2 - 110.25 \) — то же самое уравнение, что и в первом случае.

Ответ: Радиус окружности равен 14.5 см.