4. Основания равнобокой трапеции равны 3 см и 7 см, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам. Найдите периметр трапеции.

Пусть большее основание равно 7 см, меньшее — 3 см. Разность оснований равна 4 см, поэтому проекция каждой боковой стороны на большее основание равна 2 см.

Обозначим высоту через h. Рассмотрим тупой угол при вершине меньшего основания. Биссектриса этого угла — диагональ, и точка нижнего конца диагонали равноудалена от сторон угла.

Расстояние от этой точки до прямой меньшего основания равно h. Расстояние до прямой, содержащей боковую сторону, равно \(\frac{7h}{\sqrt{h^2+4}}\). Приравниваем расстояния: \(h=\frac{7h}{\sqrt{h^2+4}}\), откуда \(\sqrt{h^2+4}=7\).

Следовательно, длина боковой стороны равна 7 см. Периметр: 3 + 7 + 7 + 7 = 24 см.

Ответ: 24 см.