4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) a/√3; б) 7/(3√2); в) 1/√5; г) 10/(√6 + 1); д) b/(b − √c); е) 9/(7 + 4√3).

Домножаем числитель и знаменатель на корень или на выражение, сопряжённое знаменателю.

а) \(\frac{a}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\).

б) \(\frac{7}{3\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{6}\).

в) \(\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\).

г) Домножаем на сопряжённое выражение \(\sqrt{6}-1\): \(\frac{10}{\sqrt{6}+1}\cdot\frac{\sqrt{6}-1}{\sqrt{6}-1}=\frac{10(\sqrt{6}-1)}{6-1}=2(\sqrt{6}-1)\).

д) Домножаем на сопряжённое выражение \(b+\sqrt{c}\): \(\frac{b}{b-\sqrt{c}}\cdot\frac{b+\sqrt{c}}{b+\sqrt{c}}=\frac{b(b+\sqrt{c})}{b^2-c}\). Формула применима при допустимых значениях переменных и ненулевом исходном знаменателе; если \(b=-\sqrt{c}\ne0\), исходная дробь равна \(-\frac12\).

е) Домножаем на сопряжённое выражение \(7-4\sqrt{3}\): \(\frac{9}{7+4\sqrt{3}}\cdot\frac{7-4\sqrt{3}}{7-4\sqrt{3}}=\frac{9(7-4\sqrt{3})}{49-48}=63-36\sqrt{3}\).

Ответ: а) \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\); б) \(\frac{7\sqrt{2}}{6}\); в) \(\frac{\sqrt{5}}{5}\); г) \(2(\sqrt{6}-1)\); д) \(\frac{b(b+\sqrt{c})}{b^2-c}\) (при \(b=-\sqrt{c}\ne0\) исходная дробь равна \(-\frac12\)); е) \(63-36\sqrt{3}\).