4. Отметьте на координатной плоскости точки А(0; 5), B( -9; -1), C(2;-7), D(-5; 0). Проведите прямые АВ и CD. Найдите координаты точки пересечения прямых АВ и CD.

Решение:

1. Находим уравнение прямой AB.

Через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) прямая проходит по уравнению:

\[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \]

Для точек A(0; 5) и B(-9; -1):

\[ \frac{x - 0}{-9 - 0} = \frac{y - 5}{-1 - 5} \]

\[ \frac{x}{-9} = \frac{y - 5}{-6} \]

Умножим крест-накрест:

\[ -6x = -9(y - 5) \]

\[ -6x = -9y + 45 \]

Разделим на -3:

\[ 2x = 3y - 15 \]

Выразим y:

\[ 3y = 2x + 15 \]

\[ y = \frac{2}{3}x + 5 \]

2. Находим уравнение прямой CD.

Для точек C(2; -7) и D(-5; 0):

\[ \frac{x - 2}{-5 - 2} = \frac{y - (-7)}{0 - (-7)} \]

\[ \frac{x - 2}{-7} = \frac{y + 7}{7} \]

Умножим крест-накрест:

\[ 7(x - 2) = -7(y + 7) \]

\[ 7x - 14 = -7y - 49 \]

Разделим на 7:

\[ x - 2 = -y - 7 \]

Выразим y:

\[ y = -x - 7 + 2 \]

\[ y = -x - 5 \]

3. Находим точку пересечения прямых AB и CD.

Приравниваем уравнения прямых:

\[ \frac{2}{3}x + 5 = -x - 5 \]

Переносим члены с x в одну сторону, а числа - в другую:

\[ \frac{2}{3}x + x = -5 - 5 \]

\[ \frac{2}{3}x + \frac{3}{3}x = -10 \]

\[ \frac{5}{3}x = -10 \]

Умножим обе части на \( \frac{3}{5} \):

\[ x = -10 \times \frac{3}{5} = -2 \times 3 = -6 \]

Теперь найдем y, подставив x = -6 в любое из уравнений. Возьмем уравнение прямой CD: \( y = -x - 5 \)

\[ y = -(-6) - 5 \]

\[ y = 6 - 5 \]

\[ y = 1 \]

Координаты точки пересечения: (-6; 1).