№4. Отметьте на координатной плоскости точки A(- 4;3), B(0;4), C(2;-1), D(-2;-2). Начертите отрезки АС и BD. Найдите координаты точки их пересечения.

Решение:

Для решения этой задачи необходимо построить координатную плоскость, отметить на ней заданные точки и провести отрезки AC и BD. Затем найти точку их пересечения. Без возможности построения графика, я опишу шаги:

1. Построение точек:
• Точка A(-4; 3): 4 единицы влево по оси X, 3 единицы вверх по оси Y.
• Точка B(0; 4): на оси Y, 4 единицы вверх.
• Точка C(2; -1): 2 единицы вправо по оси X, 1 единица вниз по оси Y.
• Точка D(-2; -2): 2 единицы влево по оси X, 2 единицы вниз по оси Y.
2. Построение отрезков:
• Отрезок AC: соединяем точки A(-4; 3) и C(2; -1).
• Отрезок BD: соединяем точки B(0; 4) и D(-2; -2).
3. Нахождение координат точки пересечения:

Для точного нахождения точки пересечения необходимо решить систему уравнений, представляющих прямые, на которых лежат отрезки AC и BD.

Уравнение прямой, проходящей через точки A(-4; 3) и C(2; -1):

Найдём угловой коэффициент \( k_1 \): \( k_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 3}{2 - (-4)} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \).

Уравнение прямой: \( y - y_1 = k_1(x - x_1) \). Возьмём точку A(-4; 3): \( y - 3 = -\frac{2}{3}(x - (-4)) \) \( y - 3 = -\frac{2}{3}(x + 4) \) \( y = -\frac{2}{3}x - \frac{8}{3} + 3 \) \( y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} \).

Уравнение прямой, проходящей через точки B(0; 4) и D(-2; -2):

Найдём угловой коэффициент \( k_2 \): \( k_2 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 4}{-2 - 0} = \frac{-6}{-2} = 3 \).

Уравнение прямой: \( y - y_1 = k_2(x - x_1) \). Возьмём точку B(0; 4) (уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точку (0; b), имеет вид y = kx + b, где b — ордината точки пересечения с осью Y): \( y = 3x + 4 \).

Решим систему уравнений:

\( \begin{cases} y = -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} \\ y = 3x + 4 \end{cases} \)

Приравняем правые части уравнений:

\( -\frac{2}{3}x + \frac{1}{3} = 3x + 4 \)

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дробей:

\( -2x + 1 = 9x + 12 \)

Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, числа — в другую:

\( 1 - 12 = 9x + 2x \)

\( -11 = 11x \)

\( x = -1 \).

Подставим \( x = -1 \) в любое из уравнений, например, во второе:

\( y = 3(-1) + 4 = -3 + 4 = 1 \).

Таким образом, точка пересечения имеет координаты (-1; 1).

Ответ: Координаты точки пересечения отрезков AC и BD равны (-1; 1).