4. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. а) Докажите, что треугольник ACD равен треугольнику BDC. б) Найдите угол CBD, если угол ACB равен 118°.

а) Так как \(O\) — середина отрезков \(AB\) и \(CD\), то \(AO=OB\) и \(CO=OD\). Углы \(AOC\) и \(BOD\) — вертикальные, поэтому \(\angle AOC=\angle BOD\). Следовательно, \(\triangle AOC=\triangle BOD\) по двум сторонам и углу между ними. Отсюда \(AC=BD\).

Кроме того, \(AD\) и \(BC\) являются диагоналями параллелограмма, образованного пересекающимися отрезками, поэтому \(AD=BC\). Сторона \(CD\) является общей. Значит, \(\triangle ACD=\triangle BDC\) по трём сторонам.

б) Из равенства треугольников соответствующие углы равны: \(\angle ACD=\angle BDC\), а \(\angle ADC=\angle BCD\). Так как \(\angle ACB=118^\circ\), то смежный с ним угол \(BCD\) равен \(62^\circ\). Следовательно, \(\angle ADC=62^\circ\). В треугольнике \(BCD\):

\(\angle CBD=180^\circ-\angle BCD-\angle BDC\). При данных рисунка и условия однозначное значение \(\angle BDC\) не определяется, поэтому для пункта б) недостаточно данных.