4. Отрезки BA и CD пересекаются в точке O. Причём AO = 2OB, OD = 2OC. Используя векторы, докажите, что BC ∥ AD, BC = 0,5AD.

Так как O лежит внутри обоих отрезков, точки A и B расположены по разные стороны от O, как и точки C и D. Из условий получаем \(\overrightarrow{OA}=-2\overrightarrow{OB}\) и \(\overrightarrow{OD}=-2\overrightarrow{OC}\).

1. Выразим вектор \(\overrightarrow{AD}\): \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=-2\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OB}=2(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})\).
2. Вектор \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=-\frac12\overrightarrow{AD}\).
3. Следовательно, векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AD}\) коллинеарны, а длина BC вдвое меньше длины AD.

Доказано: BC ∥ AD и BC = 0,5AD.