2. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P так, что CP=PD, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{BO}\), \(\overrightarrow{BP}\), \(\overrightarrow{PA}\) через векторы \(\vec x=\overrightarrow{BA}\) и \(\vec y=\overrightarrow{BC}\).

Положим начало координат в точке B и используем векторы \(\vec x=\overrightarrow{BA}\), \(\vec y=\overrightarrow{BC}\). Тогда \(A=\vec x\), \(C=\vec y\), а для квадрата \(D=\vec x+\vec y\).

Точка O — середина диагонали BD, поэтому \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\).

Так как P — середина CD, её радиус-вектор равен полусумме радиус-векторов C и D: \(\overrightarrow{BP}=\frac12(\vec y+\vec x+\vec y)=\frac12\vec x+\vec y\).

Наконец, \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BP}=\vec x-(\frac12\vec x+\vec y)=\frac12\vec x-\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\), \(\overrightarrow{BP}=\frac12\vec x+\vec y\), \(\overrightarrow{PA}=\frac12\vec x-\vec y\).