Ответ:

  1. Собака бежала и прыгала через барьер. Запятая между однородными сказуемыми, соединёнными одиночным союзом «и», не ставится.
  2. Я хотел пойти в кино, а остался дома. Перед союзом «а» ставится запятая.
  3. Девочка пела, танцевала и рассказывала стихи. Между однородными сказуемыми перед одиночным союзом «и» запятая не ставится.
  4. Мы видели не медведя, а волка и очень испугались. Запятая ставится перед противопоставительным союзом «а», но не ставится между сказуемыми, соединёнными союзом «и».