4. Периметр параллелограмма ABCD равен 40 см, AB : BC = 2 : 3, ∠A — острый, sin A = 4/5. BH — высота параллелограмма, проведённая к стороне AD. Найдите площадь трапеции HBCD.

Пусть \(AB=2x\), \(BC=3x\). Из периметра \(2(AB+BC)=40\) получаем \(2(5x)=40\), поэтому \(x=4\), \(AB=8\) см, \(BC=AD=12\) см.

Так как угол A острый и \(\sin A=\frac45\), то \(\cos A=\frac35\). Высота \(BH=AB\sin A=8\cdot\frac45=\frac{32}{5}\) см.

Проекция \(AB\) на сторону \(AD\) равна \(AH=AB\cos A=8\cdot\frac35=\frac{24}{5}\) см. Следовательно, \(HD=AD-AH=12-\frac{24}{5}=\frac{36}{5}\) см.

В трапеции HBCD параллельные стороны — HD и BC, а высота равна BH. Поэтому \(S=\frac{HD+BC}{2}\cdot BH=\frac{\frac{36}{5}+12}{2}\cdot\frac{32}{5}=\frac{576}{5}\).

Ответ: \(\frac{576}{5}\) см² (115,2 см²).