4. Периметр треугольника ABC равен 52, AB = BC, AM = BM, BN = CN, MN < AC на 9. Найти P_AMNC.

Пусть \(AB=BC=x\), а \(AC=y\). Тогда из периметра \(2x+y=52\).

M и N — середины сторон AB и BC, поэтому MN — средняя линия треугольника ABC: \(MN=\frac{AC}{2}=\frac{y}{2}\).

По условию \(MN\) меньше \(AC\) на 9, то есть \(y-\frac{y}{2}=9\). Отсюда \(y=18\).

Тогда \(2x+18=52\), следовательно, \(x=17\). Периметр четырёхугольника AMNC равен \(AM+MN+NC+CA\): \(\frac{17}{2}+9+\frac{17}{2}+18=44\).

Ответ: 44.