4. Площадь четырехугольника можно вычислить по формуле S = sin α — уголь между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали d₂, если d₁ = 9, sin α = 5/8, а S = 56,25.

Решение:

Площадь четырехугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{d_1 d_2 \sin \alpha}{2} \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — длины диагоналей, а \( \alpha \) — угол между ними.

Нам дано:

• \( S = 56,25 \)
• \( d_1 = 9 \)
• \( \sin \alpha = \frac{5}{8} \)

Нам нужно найти \( d_2 \).

Подставим известные значения в формулу:

\[ 56,25 = \frac{9 \cdot d_2 \cdot \frac{5}{8}}{2} \]

Сначала упростим числитель:

\[ 9 \cdot \frac{5}{8} = \frac{45}{8} \]

Теперь уравнение выглядит так:

\[ 56,25 = \frac{\frac{45}{8} " d_2}{2} \]

Умножим обе части уравнения на 2:

\[ 56,25 " 2 = \frac{45}{8} " d_2 \]

\[ 112,5 = \frac{45}{8} " d_2 \]

Теперь выразим \( d_2 \). Для этого умножим обе части на \( \frac{8}{45} \):

\[ d_2 = 112,5 " \frac{8}{45} \]

Переведем 112,5 в дробь: \( 112,5 = \frac{1125}{10} = \frac{225}{2} \)

\[ d_2 = \frac{225}{2} " \frac{8}{45} \]

Сократим:

\[ d_2 = \frac{225 " 8}{2 " 45} = \frac{(5 " 45) " (2 " 4)}{2 " 45} = 5 " 4 = 20 \]

Таким образом, длина диагонали \( d_2 \) равна 20.

Ответ: 20