4. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле \( S = \frac{d_1 d_2 \sin \alpha}{2} \), где \( d_1 \) и \( d_2 \)— длины диагоналей четырёхугольника, а \( \alpha \)— угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали \( d_2 \), если \( d_1 = 6 \), \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \), а \( S = 19 \).

Решение:

1. Подставим известные значения в формулу площади: \( 19 = \frac{6 \cdot d_2 \cdot \frac{3}{5}}{2} \).
2. Упростим числитель: \( 6 \cdot d_2 \cdot \frac{3}{5} = \frac{18}{5} d_2 \).
3. Теперь уравнение выглядит так: \( 19 = \frac{\frac{18}{5} d_2}{2} \).
4. Упростим дробь в правой части: \( \frac{\frac{18}{5} d_2}{2} = \frac{18 d_2}{5 \cdot 2} = \frac{18 d_2}{10} = \frac{9 d_2}{5} \).
5. Итак, уравнение: \( 19 = \frac{9 d_2}{5} \).
6. Чтобы найти \( d_2 \), умножим обе части уравнения на 5: \( 19 \cdot 5 = 9 d_2 \), что даёт \( 95 = 9 d_2 \).
7. Разделим обе части на 9: \( d_2 = \frac{95}{9} \).

Ответ: \( \frac{95}{9} \).