4. Площадь треугольника можно вычислить по формуле \(S=\frac{(a+b+c)\cdot r}{2}\), где \(a\), \(b\), \(c\) — стороны треугольника, \(r\) — радиус вписанной окружности. Пользуясь этой формулой, найдите \(b\), если \(a=9\), \(c=14\), \(S=12\sqrt{5}\), \(r=\frac{4\sqrt{5}}{5}\).

Подставим данные в формулу площади:

\(12\sqrt{5}=\frac{(9+b+14)\cdot\frac{4\sqrt{5}}{5}}{2}=\frac{2(23+b)\sqrt{5}}{5}\).

Сократим обе части на \(\sqrt{5}\): \(12=\frac{2(23+b)}{5}\).

Тогда \(60=2(23+b)\), откуда \(30=23+b\) и \(b=7\).

Ответ: 7