4. Подвижный подъемный кран перемещается по горизонтальным рельсам O₁D согласно уравнению s = 4t + 12 (см). Стрела крана ОК параллельна рельсам, по стреле движется тележка А согласно уравнению х = 10 - 4t² (см). Груз В движется вертикально с помощью лебедки, установленной на тележке, по закону у = 6 + 3t² (см). Абсолютное ускорение груза В равно...

Решение:

Для определения абсолютного ускорения груза B, нам нужно найти его абсолютную скорость и затем продифференцировать её по времени.

Движение крана:

\( s_{кран} = 4t + 12 \) (см)

\( v_{кран} = \frac{ds_{кран}}{dt} = 4 \) (см/с)

\( a_{кран} = \frac{dv_{кран}}{dt} = 0 \) (см/с²)

Движение тележки А по стреле:

\( x_{телег} = 10 - 4t^2 \) (см)

\( v_{телег} = \frac{dx_{телег}}{dt} = -8t \) (см/с)

\( a_{телег} = \frac{dv_{телег}}{dt} = -8 \) (см/с²)

Движение груза В относительно тележки (вертикальное):

\( y_{груз} = 6 + 3t^2 \) (см)

\( v_{груз} = \frac{dy_{груз}}{dt} = 6t \) (см/с)

\( a_{груз} = \frac{dv_{груз}}{dt} = 6 \) (см/с²)

Теперь определим абсолютное положение груза B. Кран движется по горизонтали. Стрела крана ОК параллельна рельсам. Тележка движется по стреле. Груз движется вертикально относительно тележки.

Предположим, что стрела крана направлена горизонтально (параллельно рельсам).

Тогда положение тележки по горизонтали определяется положением крана.

Положение тележки по стреле (горизонтально): \( x_{тележки} = s_{кран} + x_{телег} \) (если \( x_{телег} \) — это расстояние от оси крана).

Однако, стрела крана ОК параллельна рельсам. Тележка движется по стреле. Груз В движется вертикально относительно тележки. Это значит, что стрела направлена горизонтально.

Пусть ось \( x \) — горизонтальная ось движения крана, ось \( y \) — вертикальная ось.

Положение крана по оси \( x \): \( X_{кран} = s_{кран} = 4t + 12 \).

Положение тележки относительно оси крана (по стреле, т.е. горизонтально): \( x_{телег} = 10 - 4t^2 \).

Положение тележки по оси \( x \): \( X_{тележки} = X_{кран} + x_{телег} = (4t + 12) + (10 - 4t^2) = -4t^2 + 4t + 22 \).

Положение груза по оси \( y \) (вертикально, относительно тележки): \( Y_{груза} = y_{груз} = 6 + 3t^2 \).

Абсолютное положение груза B:

\( Т_B = (X_{тележки}, Y_{груза}) = (-4t^2 + 4t + 22, 6 + 3t^2) \).

Абсолютная скорость груза B:

\( V_x = \frac{dX_{тележки}}{dt} = -8t + 4 \)

\( V_y = \frac{dY_{груза}}{dt} = 6t \)

Абсолютное ускорение груза B:

\( a_x = \frac{dV_x}{dt} = -8 \)

\( a_y = \frac{dV_y}{dt} = 6 \)

Абсолютное ускорение груза B — это вектор \( \vec{a}_B = (a_x, a_y) \). Его величина равна:

\( |\vec{a}_B| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} = \sqrt{(-8)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см/с}² \).

Проверим варианты:

5, \(\sqrt{133}\), 10, \(\sqrt{116}\)

Получили 10.

Ответ: 10