4. Построить график функции и перечислить все её свойства y = 2x² + 5x − 1.

Выделим полный квадрат:

\[y=2x^2+5x-1=2\left(x+\frac54\right)^2-\frac{33}{8}.\]

Это парабола с ветвями вверх.

Вершина: \(V\left(-\frac54;-\frac{33}{8}\right)\). Ось симметрии: \(x=-\frac54\).

Нули функции найдём из уравнения \(2x^2+5x-1=0\):

\[D=5^2-4\cdot2\cdot(-1)=33,\qquad x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{33}}4.\]

Пересечение с осью \(Oy\): \(y(0)=-1\), точка \((0;-1)\).

Свойства функции:

• Область определения: \(D(f)=(-\infty;+\\infty)\).
• Область значений: \(E(f)=\left[-\frac{33}{8};+\right)\).
• Убывает на \(\left(-\infty;-\frac54\right]\).
• Возрастает на \(\left[-\frac54;+\right)\).
• Наименьшее значение: \(-\frac{33}{8}\), достигается при \(x=-\frac54\).
• Положительна при \(x<\frac{-5-\sqrt{33}}4\) или \(x>\frac{-5+\sqrt{33}}4\).
• Отрицательна при \(\frac{-5-\sqrt{33}}4<x<\frac{-5+\sqrt{33}}4\).
• Ни чётной, ни нечётной.