4. Построить график функции и перечислить все её свойства y = 2x² + 5x − 1 (с таблицей координат), то есть с наибольшим и наименьшим значениями, а также где функция убывает и возрастает; чётность/нечётность.

Выделим полный квадрат:

\[y=2x^2+5x-1=2\left(x^2+\frac52x\right)-1=2\left(x+\frac54\right)^2-\frac{33}{8}.\]

Парабола направлена вверх. Вершина:

\[A\left(-\frac54;-\frac{33}{8}\right).\]

Ось симметрии: \(x=-\frac54\).

Таблица координат:

Нули функции найдём из уравнения:

\[2x^2+5x-1=0,\qquad D=25+8=33,\]

\[x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt{33}}{4}.\]

Пересечение с осью \(Oy\): \((0;-1)\).

Область определения: \(D(f)=(-\infty;+\\infty)\).

Область значений: \(E(f)=\left[-\frac{33}{8};+infty\right)\).

Функция убывает на \(\left(-\infty;-\frac54\right]\) и возрастает на \(\left[-\frac54;+infty\right)\).

Наименьшее значение функции равно \(-\frac{33}{8}\) при \(x=-\frac54\). Наибольшего значения нет.

Функция не является ни чётной, ни нечётной, поскольку \(f(-x)\ne f(x)\) и \(f(-x)\ne-f(x)\).

Знак функции: \(f(x)>0\) при \(x<\frac{-5-sqrt{33}}4\) или \(x>\frac{-5+sqrt{33}}4\); \(f(x)<0\) между корнями.

Ответ: вершина \(\left(-\frac54;-\frac{33}{8}\right)\); убывает на \(\left(-\infty;-\frac54\right]\), возрастает на \(\left[-\frac54;+infty\right)\); минимум \(-\frac{33}{8}\); максимума нет; функция ни чётная, ни нечётная.