4. Построй отрезки AB и CD, если A (4;5), B(-3;-2), C(2;1), D(-4;7). Запиши координаты точки пересечения отрезков ( _ ; _ ).

Решение:

Для нахождения точки пересечения отрезков AB и CD, сначала найдем уравнения прямых, на которых лежат эти отрезки.

Уравнение прямой AB:

Координаты точек: A(4; 5), B(-3; -2).

Угловой коэффициент \( k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-2 - 5}{-3 - 4} = \frac{-7}{-7} = 1 \).

Уравнение прямой: \( y - y_A = k_{AB}(x - x_A) \)

\( y - 5 = 1(x - 4) \)

\( y = x - 4 + 5 \)

\( y = x + 1 \)

Уравнение прямой CD:

Координаты точек: C(2; 1), D(-4; 7).

Угловой коэффициент \( k_{CD} = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \frac{7 - 1}{-4 - 2} = \frac{6}{-6} = -1 \).

Уравнение прямой: \( y - y_C = k_{CD}(x - x_C) \)

\( y - 1 = -1(x - 2) \)

\( y = -x + 2 + 1 \)

\( y = -x + 3 \)

Находим точку пересечения прямых:

Приравниваем уравнения прямых:

\( x + 1 = -x + 3 \)

\( 2x = 2 \)

\( x = 1 \)

Подставляем \( x = 1 \) в любое из уравнений, например, в \( y = x + 1 \):

\( y = 1 + 1 = 2 \)

Точка пересечения прямых имеет координаты (1; 2).

Теперь проверим, лежат ли эти отрезки на этих прямых и является ли точка пересечения точкой пересечения отрезков.

Для отрезка AB: x находится в промежутке [-3, 4]. x=1 входит в этот промежуток.

Для отрезка CD: x находится в промежутке [-4, 2]. x=1 входит в этот промежуток.

Значит, точка (1; 2) является точкой пересечения отрезков.

Ответ: (1; 2).