4. Постройте график функции и укажите её промежутки монотонности и нули функции: \(y=\frac{4x-3}{x-2}\).

Преобразуем функцию:

\[y=\frac{4x-3}{x-2}=\frac{4(x-2)+5}{x-2}=4+\frac{5}{x-2}.\]

Это гипербола, полученная из графика \(y=\frac5x\) сдвигом вправо на 2 и вверх на 4.

Область определения: \(x\ne2\). Вертикальная асимптота: \(x=2\). Горизонтальная асимптота: \(y=4\).

Производная:

\[y'=-\frac{5}{(x-2)^2}<0,\quad x\ne2.\]

Следовательно, функция убывает на промежутках \((-\infty;2)\) и \((2;+\infty)\).

Нуль функции найдём из условия:

\[4x-3=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac34.\]

График и основные точки:

Ответ: функция убывает на \((-\infty;2)\) и \((2;+\infty)\); нуль функции: \(x=\frac34\).