4. Постройте в одной системе координат графики функций y = √x и y = 2x. Найдите координаты их общих точек.

Решение:

1. График функции y = √x:

   • Это ветвь параболы, лежащая в первой четверти.
   • Основные точки: (0;0), (1;1), (4;2), (9;3).

2. График функции y = 2x:

   • Это прямая, проходящая через начало координат (0;0) с угловым коэффициентом 2.
   • Основные точки: (0;0), (1;2), (2;4).

3. Построение графиков:

4. Нахождение общих точек:

   • Общие точки — это точки пересечения графиков. Чтобы найти их, приравниваем выражения для y:
   • \[ \sqrt{x} = 2x \]
   • Возведем обе части уравнения в квадрат:
   • \[ (\sqrt{x})^2 = (2x)^2 \]
   • \[ x = 4x^2 \]
   • Перенесем все в одну сторону:
   • \[ 4x^2 - x = 0 \]
   • Вынесем x за скобки:
   • \[ x(4x - 1) = 0 \]
   • Отсюда получаем два возможных значения x:
   • \[ x_1 = 0 \]
   • \[ 4x - 1 = 0 \implies 4x = 1 \implies x_2 = \frac{1}{4} \]
   • Найдем соответствующие значения y, подставив x в любое из исходных уравнений (например, y = 2x):
   • Для x₁ = 0: y₁ = 2 * 0 = 0. Точка пересечения: (0; 0).
   • Для x₂ = \( \frac{1}{4} \): y₂ = 2 * \( \frac{1}{4} \) = \( \frac{1}{2} \). Точка пересечения: (\( \frac{1}{4} \); \( \frac{1}{2} \)).

Ответ: Общие точки графиков: (0; 0) и (\( \frac{1}{4} \); \( \frac{1}{2} \)).