5. Для каждого значения числа а определите число точек пересечения графиков функций y = |x| и y = -x + a.

Решение:

1. График функции y = |x| представляет собой "галочку" с вершиной в точке (0,0). Он состоит из двух лучей: y = x для x ≥ 0 и y = -x для x < 0.

2. График функции y = -x + a — это прямая с угловым коэффициентом -1 (параллельная лучу y = -x графика функции y = |x|) и свободным членом 'a', который определяет сдвиг прямой по вертикали.

3. Рассмотрим три случая в зависимости от значения 'a':

   • Случай 1: a > 0

   • В этом случае прямая y = -x + a пересекает график y = |x| в двух точках. Одна точка пересечения будет с лучом y = x (для x ≥ 0), а другая — с лучом y = -x (для x < 0).

     • Пересечение с y = x: x = -x + a => 2x = a => x = a/2. Так как a > 0, то x > 0, что соответствует условию. Точка: (a/2, a/2).
     • Пересечение с y = -x: -x = -x + a => 0 = a. Это противоречит условию a > 0, значит, эта точка не существует.
     • Однако, мы упустили, что прямая y = -x+a имеет наклон, который совпадает с наклоном левой ветви y=|x|. Прямая y=-x+a будет пересекать левую ветвь y=|x| (где y=-x) только если a=0. Давайте переформулируем.

   • Корректный анализ:

     График y = |x| состоит из двух лучей: y = x (при x ≥ 0) и y = -x (при x < 0).

     График y = -x + a — это прямая. Ее наклон равен -1.

     Случай 1: a = 0

     • Уравнение прямой: y = -x.
     • Эта прямая совпадает с левой ветвью графика y = |x|. Следовательно, они имеют бесконечное множество точек пересечения (все точки левой ветви, где x < 0).

     Случай 2: a > 0

     • Прямая y = -x + a пересекает правую ветвь y = x (при x ≥ 0) в одной точке: x = -x + a => 2x = a => x = a/2. Точка пересечения: (a/2, a/2).
     • Прямая y = -x + a не пересекает левую ветвь y = -x (при x < 0), так как они параллельны и не совпадают (a > 0).
     • Таким образом, при a > 0 имеется одна точка пересечения.

     Случай 3: a < 0

     • Прямая y = -x + a не пересекает правую ветвь y = x (при x ≥ 0), так как ее значение y всегда будет меньше, чем у y = x при положительных x (поскольку -x+a < x при a<0).
     • Прямая y = -x + a пересекает левую ветвь y = -x (при x < 0). Поскольку a < 0, прямая y = -x + a находится ниже прямой y = -x. Например, если x = -1, то y = -(-1) + a = 1 + a. Если y = -x, то y = -(-1) = 1. Так как a < 0, то 1+a < 1. Следовательно, прямая y = -x + a пересекает график y = |x| в одной точке (на левой ветви).
     • Таким образом, при a < 0 имеется одна точка пересечения.

4. Перепроверим логику:

   Мы ищем пересечение y = |x| и y = -x + a.

   1. Если a = 0: y = |x| и y = -x. Левая ветвь y = |x| это y = -x (при x < 0). Значит, при a = 0 прямая y = -x совпадает с левой ветвью y = |x|. Точек пересечения — бесконечно много.

   2. Если a > 0: Прямая y = -x + a сдвинута вверх. Она пересечет правую ветвь y = x (при x ≥ 0). x = -x + a => 2x = a => x = a/2. Это одна точка пересечения (a/2, a/2).

   3. Если a < 0: Прямая y = -x + a сдвинута вниз. Она пересечет левую ветвь y = -x (при x < 0). -x = -x + a => 0 = a. Это невозможно, так как a < 0. Значит, на левой ветви нет пересечения. А где же пересечение?

   Давайте построим графики для иллюстрации:

   • y = |x| - "уголок" с вершиной в (0,0).
   • y = -x + a - прямая с наклоном -1.

   Когда a = 0, y = -x. Эта прямая совпадает с левой частью y=|x|. Бесконечно много точек пересечения.

   Когда a > 0, y = -x + a. Эта прямая сдвинута вверх. Она пересечет правую часть y=|x| (y=x) в одной точке. x = -x + a => 2x = a => x = a/2. Точка (a/2, a/2). Точек пересечения: 1.

   Когда a < 0, y = -x + a. Эта прямая сдвинута вниз. Она пересечет правую часть y=|x| (y=x) в одной точке. x = -x + a => 2x = a => x = a/2. Точка (a/2, a/2). Но здесь x=a/2 < 0, что противоречит условию x>=0 для ветви y=x. Значит, она не пересекает правую ветвь. Она пересечет левую ветвь y=|x| (y=-x). -x = -x + a => 0 = a, что невозможно. Значит, наклон прямой y = -x + a совпадает с наклоном левой ветви y = |x|. Если a < 0, то прямая y = -x + a лежит ниже прямой y = -x. Она будет пересекать правую ветвь y = |x|. Прошу прощения за путаницу. Вернемся к алгебраическому решению:

   y = |x| и y = -x + a

   1. Если x ≥ 0, то |x| = x. Ищем пересечение y = x и y = -x + a. x = -x + a 2x = a x = a/2 Это решение применимо, если x ≥ 0, то есть a/2 ≥ 0, что означает a ≥ 0. Если a = 0, x = 0. Одна точка (0,0). Если a > 0, x = a/2 > 0. Одна точка (a/2, a/2).

   2. Если x < 0, то |x| = -x. Ищем пересечение y = -x и y = -x + a. -x = -x + a 0 = a Это решение применимо, если x < 0. Если a = 0, то 0 = 0, что верно для всех x < 0. То есть, все точки на левой ветви y = -x (где x < 0) являются точками пересечения. Бесконечно много точек. Если a ≠ 0, то 0 = a — ложно. Нет решений на этой ветви.

   Итоговая сводка:

   • Если a < 0: Нет решений.

     (Ошибка в предыдущих рассуждениях. Давайте еще раз: y = |x| и y = -x + a. Если a < 0, то прямая y = -x + a лежит ниже y = -x. Она будет пересекать правую ветвь y = |x| (где y = x). x = -x + a => 2x = a => x = a/2. Поскольку a < 0, то x = a/2 < 0. Это противоречит условию x ≥ 0 для ветви y = x. Значит, нет пересечений с правой ветвью. С левой ветвью (y = -x) они параллельны и не совпадают, так как a ≠ 0. Следовательно, при a < 0 - 0 точек пересечения.)

   • Если a = 0: y = |x| и y = -x. Прямая совпадает с левой ветвью. Бесконечно много точек пересечения.
   • Если a > 0: Прямая y = -x + a пересекает правую ветвь y = x. x = -x + a => 2x = a => x = a/2. Точка (a/2, a/2). Левая ветвь y = -x и прямая y = -x + a параллельны и не совпадают. Одна точка пересечения.

Ответ:

• Если a < 0, точек пересечения нет (0).
• Если a = 0, точек пересечения бесконечно много.
• Если a > 0, точка пересечения одна (1).