4. Постройте в одной системе координат графики функций y = |x| и y = -x/3 + 4. Найдите координаты их общих точек.

Привет! Давай построим оба графика и найдем их общие точки.

График y = |x|

• Это график абсолютного значения. Он выглядит как "уголок" с вершиной в точке (0,0).
• Если x ≥ 0, то y = x (прямая линия через (0,0) и (1,1)).
• Если x < 0, то y = -x (прямая линия через (0,0) и (-1,1)).

График y = -x/3 + 4

• Это линейная функция.
• Найдем две точки для построения:
• Если x = 0, то y = -0/3 + 4 = 4. Точка (0, 4).
• Если x = 3, то y = -3/3 + 4 = -1 + 4 = 3. Точка (3, 3).

Построение графиков:

Теперь нарисуем обе линии в одной системе координат. Функция \( y = |x| \) - это две луча, исходящие из начала координат под углом. Функция \( y = -x/3 + 4 \) - это прямая, пересекающая ось Y в точке (0,4) и ось X в точке (12,0) (найдем, подставив y=0: 0 = -x/3 + 4 => x/3 = 4 => x = 12).

Найдем общие точки:

Общие точки - это те, где значения y равны. Нам нужно решить систему уравнений:

\[ \begin{cases} y = |x| \\ y = -\frac{x}{3} + 4 \end{cases} \]

Это значит, что \( |x| = -\frac{x}{3} + 4 \). Решим это уравнение, рассмотрев два случая:

1. Случай 1: x ≥ 0
• Тогда |x| = x.
• Уравнение становится: \( x = -\frac{x}{3} + 4 \)
• Приведем к общему знаменателю: \( \frac{3x}{3} = -\frac{x}{3} + \frac{12}{3} \)
• Умножим на 3: \( 3x = -x + 12 \)
• Перенесем x: \( 4x = 12 \)
• Найдем x: \( x = 3 \)
• Теперь найдем y, подставив x=3 в любое изначальных уравнений: \( y = |3| = 3 \)
• Получаем первую точку: (3, 3).
2. Случай 2: x < 0
• Тогда |x| = -x.
• Уравнение становится: \( -x = -\frac{x}{3} + 4 \)
• Приведем к общему знаменателю: \( -\frac{3x}{3} = -\frac{x}{3} + \frac{12}{3} \)
• Умножим на 3: \( -3x = -x + 12 \)
• Перенесем x: \( -2x = 12 \)
• Найдем x: \( x = -6 \)
• Теперь найдем y, подставив x=-6 в любое изначальных уравнений: \( y = |-6| = 6 \)
• Получаем вторую точку: (-6, 6).

Проверка:

Для точки (3, 3): \( y = |3| = 3 \) и \( y = -3/3 + 4 = -1 + 4 = 3 \). Верно.

Для точки (-6, 6): \( y = |-6| = 6 \) и \( y = -(-6)/3 + 4 = 6/3 + 4 = 2 + 4 = 6 \). Верно.

Ответ: Общие точки графиков: (3, 3) и (-6, 6).