4. При каких значениях \(a\) имеет смысл выражение \(\frac{15a}{a+\frac{21}{4a-6}}\)?

Внутренняя дробь определена, если \(4a-6\ne0\), то есть \(a\ne\frac{3}{2}\). Также знаменатель всей дроби не должен быть равен нулю:

\(a+\frac{21}{4a-6}=0\). При \(a\ne\frac{3}{2}\) умножим на \(4a-6\): \(4a^2-6a+21=0\).

Дискриминант этого квадратного уравнения равен \(D=(-6)^2-4\cdot4\cdot21=-300<0\), поэтому действительных корней нет. Следовательно, дополнительного ограничения из условия о знаменателе всей дроби не возникает.

Ответ: выражение имеет смысл при всех действительных \(a\), кроме \(a=\frac{3}{2}\).