4*. При каких значениях а уравнение $$x^2 - ax + 4a^2 - 2 = 7 + 3ax$$ имеет два различных корня, принадлежащие промежутку (– 4; 6).

Задание 4. Решение квадратного уравнения с параметром:

Сначала упростим уравнение:

• \[x^2 - ax + 4a^2 - 2 = 7 + 3ax\]
• \[x^2 - ax - 3ax + 4a^2 - 2 - 7 = 0\]
• \[x^2 - 4ax + 4a^2 - 9 = 0\]

Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Для того чтобы оно имело два различных корня, дискриминант должен быть больше нуля:

• \[D = (-4a)^2 - 4 × 1 × (4a^2 - 9)\]
• \[D = 16a^2 - 16a^2 + 36 = 36\]

Так как $$D = 36 > 0$$ при любых значениях $$a$$, у уравнения всегда два различных корня. Найдем эти корни:

• \[x_1 = \frac{-(-4a) - \sqrt{36}}{2 × 1} = \frac{4a - 6}{2} = 2a - 3\]
• \[x_2 = \frac{-(-4a) + \sqrt{36}}{2 × 1} = \frac{4a + 6}{2} = 2a + 3\]

Теперь нужно, чтобы оба корня принадлежали промежутку $$ (-4; 6) $$. Это означает, что должны выполняться следующие условия:

• \[-4 < x_1 < 6 \] и \(-4 < x_2 < 6\]

Подставим выражения для корней:

• Для $$x_1 = 2a - 3$$:
• \[-4 < 2a - 3 < 6\]
• \[-4 + 3 < 2a < 6 + 3\]
• \[-1 < 2a < 9\]
• \[-\frac{1}{2} < a < \frac{9}{2}\]
• \[-0.5 < a < 4.5\]

• Для $$x_2 = 2a + 3$$:
• \[-4 < 2a + 3 < 6\]
• \[-4 - 3 < 2a < 6 - 3\]
• \[-7 < 2a < 3\]
• \[-\frac{7}{2} < a < \frac{3}{2}\]
• \[-3.5 < a < 1.5\]

Чтобы оба корня принадлежали заданному промежутку, необходимо, чтобы выполнялись оба набора условий для $$a$$. Найдем пересечение интервалов:

• \[(-0.5; 4.5) ∩ (-3.5; 1.5)\]
• Пересечение этих интервалов: $$ (-0.5; 1.5) $$.

Ответ: $$a ∈ (-0.5; 1.5)$$.