4. При нажатии на кнопку этажа в лифте 23-этажного дома кнопка загорается, а при повторном нажатии — гаснет. В лифт зашли Вася, Коля и Петя. Вася нажал на 12 различных кнопок, Коля — на 14, а Петя — на 19. Изначально ни одна кнопка не горела. В результате все кнопки загорелись. Сколько кнопок были трижды нажаты?

Всего было нажатий:

\(12+14+19=45\).

Так как в лифте 23 кнопки и в конце все они горят, каждая кнопка была нажата нечётное число раз. Каждый из трёх человек нажимал разные кнопки, поэтому одна кнопка могла быть нажата 1, 2 или 3 раза, но для горящей кнопки число нажатий должно быть 1 или 3.

Пусть \(x\) кнопок нажали один раз, а \(y\) кнопок — три раза. Тогда:

\(x+y=23\),

\(x+3y=45\).

Вычтем первое уравнение из второго:

\(2y=22\), откуда \(y=11\).

Ответ: 11 кнопок.