4. Прямая АВ касается окружности с центром О в точке В, AB = 8, BO = 6. Найдите АО.

Решение:

Так как прямая АВ касается окружности в точке В, то радиус ОВ перпендикулярен касательной АВ. Это означает, что \( \triangle OBA \) — прямоугольный треугольник с прямым углом \( \angle OBA \).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\[ AO^2 = AB^2 + BO^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ AO^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \]

Находим АО:

\[ AO = \sqrt{100} = 10 \]

Ответ: 10.