4. Разложите на множители: a) 81a⁴-1; б) y²-x²-6x-9.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

• а) 81a⁴-1
  • Это разность квадратов: (9a²)² - 1²
  • Применим формулу разности квадратов (x² - y² = (x-y)(x+y)):
  • (9a² - 1)(9a² + 1)
  • Первый множитель (9a² - 1) также является разностью квадратов: (3a)² - 1²
  • Применим формулу разности квадратов еще раз: (3a - 1)(3a + 1)
  • Таким образом, полное разложение: (3a - 1)(3a + 1)(9a² + 1)
• б) y²-x²-6x-9
  • Сгруппируем последние три слагаемых: y² - (x² + 6x + 9)
  • Выражение в скобках (x² + 6x + 9) является полным квадратом суммы (x+3)²:
  • y² - (x + 3)²
  • Теперь это разность квадратов: y² - (x+3)²
  • Применим формулу разности квадратов: (y - (x+3))(y + (x+3))
  • Раскроем скобки: (y - x - 3)(y + x + 3)

Ответ: а) (3a - 1)(3a + 1)(9a² + 1); б) (y - x - 3)(y + x + 3)