4. Разложите вектор \(\vec d\) по векторам \(\vec a\) и \(\vec b\), если \(\vec d\{-10; 5\}\); \(\vec d\{-5; -7\}.\)

Пусть \(\vec a=(a_1;a_2)\), \(\vec b=(b_1;b_2)\), а \(\vec d=(x;y)\). Ищем коэффициенты \(\alpha\) и \(\beta\), для которых \(\vec d=\alpha\vec a+\beta\vec b\).

Определитель \(\Delta=a_1b_2-a_2b_1\). Если \(\Delta\ne0\), то \(\alpha=\frac{xb_2-yb_1}{\Delta}\), \(\beta=\frac{a_1y-a_2x}{\Delta}\).

Для \(\vec d=(-10;5)\): \(\vec d=\frac{-10b_2-5b_1}{\Delta}\vec a+\frac{5a_1+10a_2}{\Delta}\vec b\).

Для \(\vec d=(-5;-7)\): \(\vec d=\frac{-5b_2+7b_1}{\Delta}\vec a+\frac{-7a_1+5a_2}{\Delta}\vec b\).

На изображении не указаны координаты \(\vec a\) и \(\vec b\), поэтому числовые коэффициенты разложения определить нельзя. Если эти векторы коллинеарны, то есть \(\Delta=0\), разложение может быть невозможным или неоднозначным.