№ 4. Реши систему уравнений: \(\begin{cases} 4(x+1)-3(y-2) = 5 \\ 2(3y-x)-7x = 9 \end{cases}\)

Решение:

Упростим уравнения системы:

Первое уравнение:

• $$4(x+1) - 3(y-2) = 5$$
• $$4x + 4 - 3y + 6 = 5$$
• $$4x - 3y + 10 = 5$$
• $$4x - 3y = 5 - 10$$
• $$4x - 3y = -5$$

Второе уравнение:

• $$2(3y-x) - 7x = 9$$
• $$6y - 2x - 7x = 9$$
• $$6y - 9x = 9$$
• Разделим на 3: $$2y - 3x = 3$$
• Перепишем: $$-3x + 2y = 3$$

Получили новую систему:

\(\begin{cases} 4x - 3y = -5 \\ -3x + 2y = 3 \end{cases}\)

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы использовать метод сложения:

\(\begin{cases} 2 \cdot (4x - 3y) = 2 \cdot (-5) \\ 3 \cdot (-3x + 2y) = 3 \cdot 3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 8x - 6y = -10 \\ -9x + 6y = 9 \end{cases}\)

Сложим уравнения:

• $$(8x - 6y) + (-9x + 6y) = -10 + 9$$
• $$8x - 9x - 6y + 6y = -1$$
• $$-x = -1$$
• $$x = 1$$

Подставим $$x = 1$$ во второе уравнение ($$ -3x + 2y = 3 $$):

• $$-3 \cdot 1 + 2y = 3$$
• $$-3 + 2y = 3$$
• $$2y = 3 + 3$$
• $$2y = 6$$
• $$y = 3$$

Проверка:

• $$4(1+1) - 3(3-2) = 4(2) - 3(1) = 8 - 3 = 5$$ (верно)
• $$2(3 \cdot 3 - 1) - 7 \cdot 1 = 2(9-1) - 7 = 2(8) - 7 = 16 - 7 = 9$$ (верно)

Ответ: $$x=1$$, $$y=3$$.