№ 5. Из двух городов, расстояние между которыми 960 км, одновременно навстречу друг другу выехали скорый и пассажирский поезда и встретились через 6 часов. Найдите скорость каждого поезда, если известно, что скорый проезжает за 3 часа на 120 км больше, чем пассажирский за 2 часа.

Решение:

Дано:

• Расстояние между городами $$S = 960$$ км
• Время до встречи $$t = 6$$ часов
• Разница в расстоянии за 3 часа (скорый) и 2 часа (пассажирский) $$120$$ км

Найти:

• Скорость скорого поезда $$v_с$$ — ?
• Скорость пассажирского поезда $$v_п$$ — ?

Решение:

Пусть $$v_с$$ — скорость скорого поезда, а $$v_п$$ — скорость пассажирского поезда.

Когда поезда едут навстречу друг другу, их скорости складываются. За 6 часов они прошли всё расстояние между городами:

• $$S = (v_с + v_п) t$$
• $$960 = (v_с + v_п) t6$$
• $$v_с + v_п = \frac{960}{6}$$
• $$v_с + v_п = 160$$ (км/ч)

Скорость скорого поезда за 3 часа: $$3v_с$$.

Скорость пассажирского поезда за 2 часа: $$2v_п$$.

Из условия известно, что скорый поезд за 3 часа проезжает на 120 км больше, чем пассажирский за 2 часа:

• $$3v_с = 2v_п + 120$$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\(\begin{cases} v_с + v_п = 160 \\ 3v_с = 2v_п + 120 \end{cases}\)

Выразим $$v_п$$ из первого уравнения: $$v_п = 160 - v_с$$.

Подставим это во второе уравнение:

• $$3v_с = 2(160 - v_с) + 120$$
• $$3v_с = 320 - 2v_с + 120$$
• $$3v_с + 2v_с = 320 + 120$$
• $$5v_с = 440$$
• $$v_с = \frac{440}{5}$$
• $$v_с = 88$$ (км/ч)

Теперь найдём $$v_п$$:

• $$v_п = 160 - v_с$$
• $$v_п = 160 - 88$$
• $$v_п = 72$$ (км/ч)

Проверка:

• Скорость скорого + скорость пассажирского: $$88 + 72 = 160$$ км/ч.
• Расстояние за 6 часов: $$160 \times 6 = 960$$ км (верно).
• Расстояние скорого за 3 часа: $$88 \times 3 = 264$$ км.
• Расстояние пассажирского за 2 часа: $$72 \times 2 = 144$$ км.
• Разница: $$264 - 144 = 120$$ км (верно).

Ответ: Скорость скорого поезда — 88 км/ч, скорость пассажирского поезда — 72 км/ч.