4. Решить нер-во: a) (1/2)^2x+5 ≤ 32 б) log_1/2(x+7) < 3

Решение:

1. а) \( \left(\frac{1}{2}\right)^{2x+5} \leq 32 \)
• Представим \( \frac{1}{2} \) как \( 2^{-1} \) и \( 32 \) как \( 2^5 \): \( (2^{-1})^{2x+5} \leq 2^5 \).
• Применим свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( 2^{-(2x+5)} \leq 2^5 \).
• \( 2^{-2x-5} \leq 2^5 \).
• Поскольку основание степени \( 2 > 1 \), при сравнении показателей сохраняется знак неравенства: \( -2x-5 \leq 5 \).
• Решим линейное неравенство: \( -2x \leq 5+5 \Rightarrow -2x \leq 10 \).
• Разделим обе части на \( -2 \) и изменим знак неравенства на противоположный: \( x \geq \frac{10}{-2} \Rightarrow x \geq -5 \).
2. б) \(\log_{1/2}(x+7) < 3\)
• Определим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным: \( x+7 > 0 \Rightarrow x > -7 \).
• Поскольку основание логарифма \( \frac{1}{2} \) находится между 0 и 1 \( (0 < \frac{1}{2} < 1) \), при переходе от логарифмического неравенства к степенному знак неравенства меняется на противоположный.
• Запишем 3 как логарифм по основанию \( \frac{1}{2} \): \( 3 = \log_{1/2} \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\right) = \log_{1/2} \left(\frac{1}{8}\right) \).
• Исходное неравенство: \( \log_{1/2}(x+7) < \log_{1/2}\left(\frac{1}{8}\right) \).
• Снимаем логарифмы, меняя знак неравенства: \( x+7 > \frac{1}{8} \).
• Решаем линейное неравенство: \( x > \frac{1}{8} - 7 \).
• \( x > \frac{1}{8} - \frac{56}{8} \Rightarrow x > -\frac{55}{8} \).
• Теперь учтём ОДЗ \( x > -7 \). Поскольку \( -\frac{55}{8} = -6.875 \) и \( -7 \), то \( x > -6.875 \) уже удовлетворяет условию \( x > -7 \).
• Таким образом, решением неравенства является \( x > -\frac{55}{8} \).

Ответ: а) \( x \geq -5 \); б) \( x > -\frac{55}{8} \).